John Forbes Nash a teorie her

Matematikové obvykle nebývají slavní. Jména jako Cauchy, Riemann či Lebesgeue něco říkají jen malému počtu lidí. Možná je to i proto, že se za matematiku neuděluje Nobelova cena. Nash sice dostal Nobelovu cenu - za ekonomii, ale opravdovou hvězdu z něj udělal až hollywoodský trhák Čistá duše (Beuatiful Mind). Film s hvězdným obsazením se však své předlohy (Nashovy biografie od Sylvie Nasar) a potažmo fakt nedržel příliš věrně. Někdo by o něm mohl říci, že je tendenční, schematický a podporuje všeobecně zažitou mylnou(!) představu o bláznivých vědcích; o tom, že od geniality je jen krůček k šílenství. Dokonce i Nashův objev díky kterému získal Nobelovu cenu byl vyložen dost zmatečně. Teď si můžete přečíst něco, co se pravdě blíží víc.


Život

John Forbes Nash junior se narodil třináctého června 1928 v Bluefieldu v Západní Virginii. Jeho otec John senior byl Texasan, veterán z První světové války a pracoval jako elektrotechnický inženýr. Matka Margaret Virginia Martin se pocházela z Bluefieldu a než se vdala, učila angličtinu a latinu. Marta, jeho sestra, se narodila dva a půl roku po něm a na rozdíl od Johna byla naprosto obyčejné dítě.

Malý John vyrůstal v rodině, která ho milovala a podporovala. Od dětství rád pracoval nezávisle a často si hrál sám. Jeho rodiče brzy rozpoznali jeho nadání a snažili se ho podporovat, otec mu dával na čtení různé vědecké knihy a matka ho učila doma. Ve škole však měl občas problémy. Jednou dokonce jeho matka musela přijít do školy, protože mu nešla matematika. Jak se ukázalo, John jen odmítal řešit problémy způsobem, který mu předkládala učitelka, a místo toho je řešil po svém. Tento přístup byl pro něj typický. Často zavíral ve svém pokoji aby si mohl nerušeně číst nebo provádět různé chemikální či elektrické experimenty. V podstatě mu nedělalo problémy chovat se společensky, prostě jen věci jako sport, tancování či návštěvu příbuzných bral jako mrzuté vyrušení od jeho koníčků.

Na střední škole se mu do rukou dostala kniha „Muži matematiky“ od E. T. Bella, díky které poznal opravdové nadšení z matematiky, když se mu povedlo dokázat jednu klasickou Fermatovu větu o prvočíslech. Bluefield bylo relativně malé město plné obchodníků a právníků a rozhodně nebylo místem, kde by se člověk mohl uskutečnit vědeckou kariéru. Snad i proto začal Nash po střední škole studovat chemikální inženýrství na Carnegie Institute of Technology - dnešní Carnegie Mellon University. Ve chvíli, kdy zjistil, že ho čeká celý zástup předmětů jako technické kreslení, přestoupil na chemii. Tam však také dlouho nezůstal, neboť se mu zdálo, že je kladen větší důraz na to, jak umí zacházet s pipetou a provádět titraci, než na to jak rozumí teorii a jak umí myslet. Nakonec skončil na matematické fakultě a vedlo se mu tam tak dobře, že po třech letech získal nejenom titul bakaláře ale i magistra. Na této škole se také poprvé setkal s ekonomií – výsledkem byl článek „The Bargaining Problem“ (Vyjednávací problém), který byl o několik let později publikován v časopise Econometrica.

Při rozhodování o dalším studiu vybíral mezi na Harvardem a Princetonem. Nabídka z Harvardu nebyla tak štědrá a navíc byl Princeton mnohem blíže Bluefieldu, takže se Nash stal doktorandem v Institute of Advanced Study v Princetonu, kde se brzy stal všeobecně známým díky hře, kterou vynalezl a které na jeho počest říkali Nash. (Dnes je tato hra známá spíše pod názvem Hex, který ji dal dánský matematik Piet Hein, jenž ji objevil nezávisle na Nashovi.) V Princetonu se Nash vrhl do studia matematiky a narozdíl od mnohých svých kolegů svůj zájem nesoustředil v jedné úzce specializované oblasti. Zabýval se topologií, teorií čísel, diofantickými rovnicemi, algebraickou geometrii, teorií her, logikou, kvantovou mechanikou a teorií relativity(1). Nash byl vždy přesvědčen, že jeho nápady jsou velice důležité a tak nedlouho potom, co nastoupil v Princetonu, neváhal jít za profesorem Einsteinem (který v té době v Princetonu pobýval), aby mu řekl o svých nápadech týkajících se teorie gravitace. Po hodině vysvětlování složité matematiky slavnému profesorovi Einstein mladého studenta odbyl s tím, aby se naučil více fyziky. Podle všeho však nápady podobné těm Nashovým byly publikovány fyziky o pár let později.

Na přednášky skutečně nechodil. Tvrdil, že se nechce učit matematiku z druhé ruky a raději si témata studia a problémy vymýšlel sám. Často byl jeho přístup úspěšný a tak se z Nashe stal jeden z nejoriginálnějších matematiků své doby, který k problémům přistupoval naprosto nově a neotřele. Svou disertační práci věnoval teorii her a protože si nebyl jistý, zda je toto téma dostatečné pro obhájení matematické disertace, měl v záloze připravený výsledek o reálných algebraických varietách (2). V roce 1950 Nash svou práci „Non-cooperative games“ (Nekooperativní hry) obhájil a získal titul doktora filozofie (Ph.D.). Mladého matematika si všimla RAND Corporation (www.rand.org), která se v té době zabývala převážně konflikty studené války a která byla financována Pentagonem. Nash pro ni příležitostně pracoval až do doby, kdy byl zatčen při policejní akci namířené proti homosexuálům. Ačkoliv ho film prezentoval jako skvělého luštitele šifer, ve skutečnosti Nash fungoval jako expert hledající optimální strategie.

John si už jako malý byl vědom toho, že je mnohem chytřejší než jeho vrstevníci a postupem času se stal pyšným a arogantním. Spolu s jeho uzavřeností a málomluvností to byly vlastnosti, které mu nezískaly příliš přátel, spíše naopak. Možná i kvůli neshodám s některými kolegy z Princetonu se přestěhoval do Bostonu a začal učit na slavném Massachusetském technologickém institutu. Tam později sepsal a vydal svou práci „Real Algebraic Manifolds“, jejíž podstatnou část měl připravenou už z dob studií na Princetonu. Nash měl problémy se svou sexuální orientací a na MIT navázal několik „speciálních“ vztahů se studenty. V roce 1953 se mu narodil nemanželský syn s Eleanor Stierovou, v roce 55 se začal vídat se svou studentkou Aliciou de Larde, se kterou se v roce 57 oženil. V té době pracoval na apriorních odhadech Hölderovské spojitosti řešení jistého typu parciálních diferenciálních rovnic (3). Problém se mu podařilo vyřešit, ale už před ním ho jinou metodou zvládl Ital Ennio de Giorgi pro speciální případ eliptických rovnic, které jsou obzvláště zajímavé z hlediska aplikací. Nebýt této konkurence je jisté, že by Nash v roce 58 za tuto práci získal Fieldsovu medaili To je v matematickém světě podobně prestižní ocenění jako Nobelova cena. Je dost dobře možné, že nebýt jeho zdravotních problémů, získal by tuto medaili v roce 62.

Bohužel u Nashe v 59. propukla paranoidní schizofrenie (4), kterou nejspíše odstartoval stres v práci navíc stupňovaný těhotenstvím jeho ženy. Ačkoliv film posunul propuknutí Nashova šílenství o šest let zpátky a popisoval ho jako paranoidní McCarthyovské bludy, ve skutečnosti Nash tvrdil, že s ním komunikují mimozemšťané pomocí zašifrovaných zpráv v New York Times. Po několika měsících bizarního chování byl nedobrovolně hospitalizován v McLeanove nemocnici. Když byl po dvou měsících propuštěn, odjel do Evropy a snažil se získat status uprchlíka. Domů posílal pohlednice se zašifrovanými vzkazy a matematickými tvrzeními. V roce 61 podstoupil nebezpečnou inzulínovou terapii. Při ní je pacientovy vstříknuta velká dávka inzulínu, po které následuje koma a často i záchvat. Nashovi kolegové byli rozzuřeni a žádali lékaře, aby chránili Johnovu mysl pro dobro lidstva. Po šesti měsících terapie vypadal Nash příšerně. V roce 62 Alicia požádala o rozvod. Jeho bývalí spolupracovníci z Princetonu se mu snažili pomoci, našli mu byt v Bostonu a zařídili mu setkání s psychiatrem, který mu předepsal psychofarmaka. Po nich se začal jeho stav dramaticky zlepšovat, ale asi po roce je přestal brát, protože se po nich cítil vyčerpaný a neschopný koncentrace na svou práci. Tentokrát se k hlasům přidaly i vizuální halucinace. V roce 1970 Alicia slíbila Johnovi, že ho už nikdy proti jeho vůli nepošle do nemocnice a on se nastěhoval zpět k ní a svému synovi. V následujících deseti letech Nash bloumal po areálu školy v Princetonu, psal všude možně komplikované formule a snažil se nezávisle řešit matematické problémy, postupně překonával svou chorobu. Jak sám říká, jeho zotavení bylo výsledkem rozhodnutí myslet racionálně. V roce 1994 mu byla udělena Nobelova cena za ekonomii jako jednomu ze tří vědců, kteří svou prací přispěli k rozvoji teorie her a jejích aplikací v ekonomii. Dnes se John Nash snaží navázat na svou dřívější práci.


Teorie her

Teorie her vytváří a analyzuje modely situací, ve kterých dochází k interakci alespoň dvou racionálních entit s protichůdnými zájmy. Této interakci se pak říká hra a jejími hráči jsou ony entity. Hrou v tomto smyslu může být třeba partie pokeru, studená válka, veřejná aukce, jednání nad podmínkami smlouvy nebo třeba namlouvací rituály tučňáků císařských. Hry se v zásadě dělí na kooperativní a nekooperativní. V kooperativních hrách jsou povolené dohody mezi hráči a tito se tedy mohou domlouvat na společné strategii. V nekooperativních hrách spolu hráči nespolupracují. Strategii lze chápat jako předpis, který hráči říká, jak má v té které situaci hrát. Je v podstatě nutností uvažovat i strategie beroucí v potaz náhodu – takové pak hráči určují, s jakou pravděpodobností bude hrát jeden z možných tahů. Je také potřeba rozlišovat zda hráči znají všechny provedené tahy spoluhráčů (například šachy) či zda mají informace o všech věcech, které jsou pro hru podstatné (například zda znají možné strategie soupeřů a jejich zisk při různých výsledcích hry). U partičky mariáše je jasné jak na konci hry změřit úspěšnost strategie – každému hráči se stačí podívat na změnu, která nastala v jeho peněžence. V obecných případech se uvažuje abstraktní užitková funkce, která každému možnému výsledku hry přiřadí n-tici reálných čísel vyjadřující užitek pro jednotlivé hráče. Tradičně se kladným číslem vyjadřuje zisk, záporným pak ztráta. Dalším podstatným údajem o hře je to, zda jde o hru s nulovým součtem či nikoliv. Hrou s nulovým součtem je taková hra, při které je součet užitků všech hráčů nulový pro každý možný výsledek hry. To znamená, že co jeden hráč získá, druhý tratí (typická situace například u pokeru). Ačkoliv je terminologie teorie her většinou převzatá z běžné mluvy a zní tím pádem poněkud všedně, stojí za jejími pojmy velice sofistikovaná matematika.

Práce Johna Nashe z padesátých a šedesátých let věnovaná teorii her se dá shrnout do tří odborných článků a jedné disertační práce. Velká obecnost Nashových výsledků, jednoduchost jejich formulace a jejich relativně snadná aplikovatelnost, to vše z jeho prací udělalo zásadní milník ekonomické teorie. Před publikováním Nashovy práce byla jedinou obecnou analytickou metodou v ekonomii takzvaná teorie cen (price-theory) a ekonomie jako taková byla brána za vědu zabývající se produkcí a shromažďováním materiálních statků, neboť jedině na kvantitativně měřitelné statky měla potřebný analytický nástroj. Dnes ekonomie studuje racionální volby a rozhodování ve světě s omezenými prostředky. Takovéto rozšíření pole působnosti umožnila právě teorie her. (Místo předchozích dvou vět; nepřesné, ale za to frikulínsky úderné: Dnes je ekonomie z velké části vědou o trzích. Trh je místo, kde se střetává nabídka s poptávkou, místo, kde se hrají hry.)

Za tvůrce moderní teorie her lze považovat geniálního maďarského matematika Johna von Neumanna a ekonoma Oskara Morgensterna. Ti ve své knize „Teorie her a ekonomické chování“ položili základy této disciplíny. Omezili se však jen na hry dvou hráčů s nulovým součtem, jejichž aplikační potenciál je relativně malý. Pokud se například na smlouvání ceny na tržišti díváme jako na hru, kdy se každý z hráčů snaží trefit do maximální (respektive minimální) ceny, za kterou je druhý ochoten koupit (prodat), není to hra s nulovým součtem. Pro oba je zřejmě výhodnější obchod uzavřít než neuzavřít a to znamená, že součet užitků při uzavření obchodu je vyšší než při neuzavření a tudíž nemohou býti oba tyto součty nulové. Nash svou práci o nekooperativních hrách vystavěl na podstatném zobecnění výsledků von Neumanna a Morgensterna, které umožnilo analyzovat mnohem více reálných situací.

Klíčovým pojmem při analýze her je takzvané Nashovo ekvilibrium. Toto ekvilibrium je definováno jako soubor strategií jednotlivých hráčů takový, že žádný hráč nemůže získat změnou své strategie, pokud ji změní jen on sám. Nash ve své disertační práci „Non-cooperative games“ dokázal existenci tohoto ekvilibria pro velice širokou třídu her, popsal jeho základní vlastnosti a uvedl mnoho pěkných, ilustrativních příkladů jeho využití. Také ukázal, že dříve známé nevýhodnější strategie některých her jsou jen speciálním případem tohoto ekvilibria. Strategie v Nashově ekvlibriu jsou v jistém smyslu optimální, nemusí však vést k efektivnímu výsledku (viz vězňovo dilema). Dalším Nashovým úspěchem bylo, že se mu povedlo zahrnout kooperativní hry do her nekooperativních jakožto jejich speciální případ . Podařilo se mu totiž popsat způsob jak na veškerá vyjednávání o dohodách mezi hráči pohlížet jako na další možné tahy hry. Umožnil tak jednotným způsobem analyzovat v podstatě všechny hry.

U her se předpokládalo, že na začátku mají všichni hráči stejné množství informací, což je předpoklad, který je v praxi málokdy splněn. Hry navíc mají často více než jedno Nashovo ekvilibrium, přičemž strategie v některých z ekvilibrií mohou být při bližší analýze nesmyslné. Z těchto důvodů se teorie dále rozvíjela a pojem Nashova ekvilibria byl různě zobecňován a modifikován. Největších úspěchů dosáhli Reinhard Selten a John C. Harsanyi, kteří jsou spolu s Johnem Nashem držiteli Nobelovy ceny za ekonomie v roce 1994. Není bez zajímavosti, že určité výsledky Nashových pokračovatelů lze v kontextu ekonomie interpretovat tak, že na to jaká varianta Nashova ekvilibria z více možných bude v konkrétním případě realizována, má rozhodující vliv kontext většinové kultury a historické tradice. Tedy to, jakou si hráči vyberou optimální strategii z více možných, je ovlivněno kulturou a historickými tradicemi společnosti, ve které žijí. Naproti tomu interpretace výsledků Johna Harsanyie říká, že to k jakému výsledku hra nakonec dospěje je podstatným způsobem závislé na důvěrných informacích či charakterových vlastnostech jednotlivých hráčů. V obou případech nehledíce na to, jak malý vliv tyto skutečnosti mají na preference hráčů! To ukazuje na formální omezení metody ekonomické analýzy, která bere v potaz jen preference hráčů. Pochopení těchto limitů nedevalvuje ekonomii, spíše pomáhá redefinovat vztah ekonomie a ostatních sociálních věd.

Nashovo ekvilibrium udává strategie, kterými se budou řídit racionální hráči, kteří věří, že i ostatní hráči uvažují racionálně, a kteří jsou dostatečně inteligentní na to, aby tyto strategie dokázali najít. V praxi to jsou zřejmě těžko splnitelné požadavky. Nicméně z dlouhodobého hlediska jsou ospravedlnitelné, neboť hráči iracionální či nedostatečně inteligentní ve hře moc dlouho nevydrží. V ekonomických hrách jim dojdou peníze, v evolučních hrách zase nejsou geny takovýchto jedinců předávány dalším generacím.

Princip Nashova ekvilibria pomohl teoreticky vysvětlit mnoho jevů v ekonomii, evoluční biologii a sociologii. V praxi se Nashových metod používá při vyjednáváních, na aukcích, při plánování válečných strategií a samozřejmě také k analýze hazardních her. Formulace Nashova ekvilibria měla v sociálních a ekonomických vědách dopad srovnatelný s významem objevu DNA pro vědy biologické. Z matematického hlediska se jedná o jedny z jeho nejméně zajímavých výsledků, přesto si John Nash Nobelovu cenu určitě zasloužil.


Rámečky:


Vězňovo dilema


Žibřid a Bedřich jsou dva zatčení, kteří společně postavili bankovní tunel. Policie nemá dostatek důkazů a tak státní zástupce dá každému zvlášť následující nabídku. Když budou svědčit proti svému společníkovi, budou volní zatímco ten druhý bude odsouzen na 10 let. Když se oba rozhodnou mlčet, dostane každý šest měsíců, v případě, že se oba rozhodnou mluvit, stráví spolu ve vězení dva roky. Každý vězeň má tedy na výběr ze dvou strategií – mlčet nebo promluvit, což dává čtyři možné výsledky podle toho, pro jakou strategii se rozhodnou. Všechny informace lze shrnout do tabulky:


Žibřid bude mlčet

Źibřid promluví

Bedřich bude mlčet

Oba budou sedět půl roku.

Bedřich bude sedět deset let, Žibřid bude volný.

Bedřch promluví

Žibřid bude sedět deset let, Bedřich bude volný.

Oba budou sedět dva roky.


Předpokládejme, že oba zločinci jednají naprosto sobecky a racionálně a že jejich cílem je strávit ve vězení co nejkratší dobu. Pokud se Bedřich rozhodne mlčet, pak nehledě na to, jakou strategii zvolil Žibřid je pro něj výhodnější promluvit. Z pohledu Žibřida to ale vypadá úplně stejně. Jediným Nashovým ekvilibriem této hry je tedy situace kdy oba promluví, což není nejvýhodnější varianta! Ke stejnému výsledku bychom došli i v případě většího počtu trestanců.

V reálném světě však je rozumnější očekávat, že oba budou mlčet. To lze vysvětlit tím, že tato hra se hraje dostatečně často na to, aby se mezi hráči vytvořila jakási apriorní dohoda o tom, jakou strategii volit. Svou roli zde samozřejmě mohou hrát i faktory, které tento zjednodušený model nebere v úvahu. Ve vězení není status práskače zrovna záviděníhodný. Nakonec malé cvičení pro čtenáře. Zkuste v předchozí hře zaměnit slovo „vězeň“ za slovo „továrna“, „promluvit“ za „znečišťovat“ a „mlčet“ za „instalovat čistící filtry“.

Vysvětlivky:

V té době pracoval na apriorních odhadech Hölderovské spojitosti řešení jistého typu parciálních diferenciálních rovnic (3).

  1. varieta, algebraická varieta: Varieta je složité zobecnění Eukleidovského prostoru s intuitivní terminologií. (Klidně si v následujícím můžete místo slova varieta dosadit slovo zemský povrch.) Pro každý bod na varietě existuje mapa malého okolí tohoto bodu do Eukleidovského prostoru (tedy například do přímky, roviny, prostoru, lze uvažovat i více dimenzí – jedinou podmínkou je, že všechny mapy vedou do prostorů se stejnou dimenzí). Práce s varietou se liší podle kvality map v atlasu. Jejich základním parametrem je takzvaná hladkost, jakási míra toho, jak ostré zlomy v mapě jsou (představte si to třeba na polednících – pokud se jeho linie ostře láme, není to hladká mapa). Algebraická varieta je varieta zadaná algebraickou rovnicí, tedy mnohočlenem. Příkladem algebraické variety může být třeba kružnice nebo válcová plocha. Nash dokázal, že každá v jistém smyslu malá varieta je ve skutečnosti částí nějaké algebraické.

  2. parciální diferenciální rovnice: Rovnice v nichž je neznámá funkce. Slouží k popisu nediskrétních jevů. Například vedení tepla, proudění vody, chování magnetického či elektrického pole a podobně. Nash se ve své práci zabýval jistými jemnými vlastnostmi řešení takovýchto rovnic.

  3. paranoidní schizofrenie: Schizofrenie je závažná duševní nemoc ovlivňující myšlení a způsobující poruchy ve vnímání reality, které působí na chování a emoce postiženého. Samotný termín pochází z řečtiny a je složeninou slov schizo a phrenos, značících dělený nebo rozpolcený a myšlení. Paranoidní schizofrenie je nejčastější forma schizofrenie, provázená perzekučními bludy a sluchovými halucinacemi. Paranoidní člověk může také trpět intrapsychickými halucinacemi, například přesvědčením o vlastních telepatických schopnostech nebo schopnostech odnímání myšlenek. Tato forma schizofrenie způsobuje podrážděné chování, které může vést až k agresivitě namířené proti domnělým nepřátelům.